二项式展开公式的表达式为
om-k}b^k$$
om$个不同元素中选$k$个元素的组合数，其计算公式为
om-k)!}$$
=1$时，有
omom{1}{1}a^{1-1}b^1$$
=k$时二项式展开公式成立，即
om{k}{i}a^{k-i}b^i$$
=k+1$时，有
$$(a+b)^{k+1}=(a+b)^k(a+b)$$
将$(a+b)^k$展开，得
om{k}{i}a^{k-i}b^i(a+b)$$
将$a+b$拆分，得
omom{k}{i}a^{k-i}b^{i+1}$$
对项进行变形，得
omom{k}{i-1}a^{k+1-i}b^{i-1}$$
对第二项进行变形，得
omom{k}{i}a^{k+1-i}b^{i}$$
将上述两个式子代入原式，得
omomomom{k}{i}a^{k+1-i}b^{i}$$
整理后，得
om{k+1}{i}a^{k+1-i}b^{i}$$
因此，二项式展开公式成立。
二项式展开公式在数学中有着广泛的应用。它可以用于求解组合问题、概率问题、微积分问题等。在实际应用中，我们可以利用二项式展开公式将一个复杂的式子化简为简单的形式，从而更方便地进行计算和分析。
总之，二项式展开公式是数学中的一个重要公式，它不仅具有理论意义，而且在实际应用中也有着广泛的应用。
，有以下公式
C-k}b^k$$
个物体中选k个物体的方案数。$C_5^2$表示从5个物体中选出2个物体的方案数，计算公式为
$$C_5^2=\frac{5!}{2!3!}=10$$
二项式定理的应用非常广泛，而二项式展开公式则是二项式定理的一种特殊形式，它可以将一个二项式展开为一系列单项式的和，从而更方便地进行计算。
二项式展开公式的推导过程
=1时，有
$$(a+b)^1=a+b$$
=k时，公式成立，即
_{i=0}^kC_k^ia^{k-i}b^i$$
=k+1时，有
$$(a+b)^{k+1}=(a+b)(a+b)^k$$
将$(a+b)^k$代入上式，得
_{i=0}^kC_k^ia^{k-i}b^i$$
展开式子，得
_{i=0}^kC_k^ia^{k-i}b^{i+1}$$
将第二个求和式中的i替换为i-1，得
_{i=0}^kC_k^ia^{k-i}b^{i+1}$$
将个求和式中的i替换为i+1，得
_{i=0}^kC_k^{i+1}a^{k-i}b^{i+1}$$
将两个求和式合并，得
_{i=0}^{k+1}[C_k^i+C_k^{i-1}]a^{k+1-i}b^i$$
根据组合数的 *** 质，有$C_k^i+C_k^{i-1}=C_{k+1}^i$，代入上式，得
_{i=0}^{k+1}C_{k+1}^ia^{k+1-i}b^i$$
二项式展开公式的应用
二项式展开公式的应用非常广泛，在概率统计中，二项式展开公式可以用来计算二项分布的概率；在数学分析中，它可以用来计算幂级数的各项系数；在组合数学中，它可以用来解决组合恒等式和计数问题等。
次，问恰好有k次正面朝上的概率是多少？
根据二项分布的定义，恰好有k次正面朝上的概率为
-k}$$
将组合数的定义代入上式，得
-k}$$
将二项式展开公式代入上式，得
C-i}$$
$，因此上式可以简化为
次时，恰好有k次正面朝上的概率为1，而不会大于1或小于1。
二项式展开公式是二项式定理的一种特殊形式，它可以将一个二项式展开为一系列单项式的和，从而更方便地进行计算。它的推导过程可以通过数学归纳法来完成，应用也非常广泛，
